Quaternioni e stabilità numerica

Question

Sto imparando i quaternioni di unità e come utilizzarli per rappresentare e comporre le rotazioni. Wikipedia dice che sono più numericamente stabili rispetto alle rappresentazioni matriciali, ma non danno un riferimento. Qualcuno può spiegarmi (preferibilmente con qualche ragionamento matematico) perché è più numericamente stabile usare i quaternioni di unità per gestire le rotazioni (ad esempio per un'applicazione OpenGL) piuttosto che le matrici di rotazione? È solo perché si evita il blocco del giunto cardanico?

Answer 1

Questo articolo di Wikipedia è di parte. Da

• http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation#Advantages_of_quaternions

come APR 18, 2014:

Durante la composizione di diverse rotazioni su un computer, gli errori di arrotondamento necessariamente accumulano. Un quaterio ancora leggermente spento rappresenta una rotazione dopo essere stato normalizzato: una matrice leggermente disattivata potrebbe non essere più ortogonale ed è più difficile riconvertire in una matrice ortogonale corretta .

Questo è di parte. C'è niente di difficile di ri-orthogonalizing una matrice di rotazione, si veda ad esempio:

• Eigen - Re-orthogonalization of Rotation Matrix

e quaternioni devono essere ri-normalizzati troppo: "Un quaternione che è leggermente fuori ancora rappresenta una rotazione dopo essere stata normalizzata ". I quaternioni non hanno un vantaggio significativo qui.

Proverò a risolverlo in Wikipedia. Questa opinione parziale compare anche su Wikipedia in altri luoghi ... :(

Questo risponde alla tua domanda.

---

UPDATE: ho dimenticato di menzionare: gimbal lock non gioca un ruolo qui; né i quaternioni, né le matrici di rotazione ne soffrono.

---

Alcune note a margine. Anche se quaternioni sono più compatti rispetto matrici di rotazione, non è affatto un taglio chiaro che usando quaternioni si tradurrà in meno calcolo numerico nell'applicazione nel suo complesso, si veda:

• http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation#Performance_comparisons

Solo per la cronaca: le matrici di rotazione sono state utilizzate con grande successo su microcontrollori con risorse limitate per tracciare l'orientamento, vedere Direction Cosine Matrix IMU: Theory di William Premerlani e Paul Bizard. Ho anche esperienza di prima mano nell'orientamento del tracking su un microcontrollore (MSP430) e posso solo dire che le matrici di rotazione sono veloci e stabili per l'orientamento del tracciamento.

mio punto è: non c'è differenza significativa tra matrici di rotazione e quaternioni quando viene utilizzato per monitorare l'orientamento.

Se si dispone già di una libreria che utilizza i quaternioni per rappresentare le rotazioni, attenersi ai quaternioni; se la tua libreria usa già matrici di rotazione, usa le matrici di rotazione. Anche se una rappresentazione ti farebbe risparmiare qualche operazione in virgola mobile qua e là, non ha senso cambiare la tua applicazione/libreria per usare l'altra rappresentazione; anche su microcontrollori con risorse limitate, i risparmi sarebbero insignificanti.

L'unico vero vantaggio dei quaternioni che vedo è che i quaternioni possono essere utilizzati per l'interpolazione. Né le matrici di rotazione, né gli angoli di Eulero possono farlo.

• Interpolating between rotation matrices

Answer 2

Non sono sicuro se questo sarà abbastanza matematico per i vostri gusti, ma lo farò comunque: il problema con una matrice di rotazione è che contiene informazioni ridondanti. Hai 9 valori che codificano una trasformazione con solo 3 gradi di libertà.

A causa di questa ridondanza, esistono dei vincoli sui 9 valori in una matrice per formare una matrice di rotazione valida. La matrice deve essere ortogonale, nel senso che i vettori di riga devono essere ortonormali (ogni vettore ha lunghezza 1 e il prodotto scalare di ciascuna coppia è 0).

Mentre si aggiorna la matrice di rotazione, in genere concatenandola con matrici di rotazione incrementali, vengono introdotti errori numerici. Questi errori si accumulano con ogni aggiornamento. A meno che tu non faccia qualcosa a riguardo, i vettori di fila si allontanano sempre più dall'essere ortonormali. Una volta che la matrice è sufficientemente lontana dall'essere ortogonale, può iniziare a deformare visibilmente la geometria a cui è applicata (inclinazione, ridimensionamento, ecc.).

È possibile evitare questi problemi quando si utilizzano le matrici di rotazione periodicamente ortonormalizzando i vettori di riga. Bastano alcune semplici operazioni vettoriali per farlo, quindi non è un grosso problema.

Answer 3

"gimbal lock" è una falsa pista - nè matrici né quaternioni unitari sono intrinsecamente soggette a gimbal serratura.

Le matrici presentano effettivamente un piccolo vantaggio rispetto ai quaternioni nel mantenimento della stabilità numerica su una sequenza di rotazioni, poiché sono necessarie meno operazioni FP per produrre ciascun elemento nel prodotto matrice. I quaternioni hanno un leggero vantaggio nella facilità di correggere la deriva numerica (per fare davvero un buon lavoro per le matrici, è necessario fare un SVD).

Onestamente, però, è improbabile che faccia una grande differenza per la tua applicazione, e la teoria dietro la stabilità numerica diventa piuttosto pelosa. Se sei veramente interessato alla zona, posso raccomandare la precisione e la stabilità degli algoritmi numerici di Higham.

Answer 4

L'utilizzo di quaternioni di unità può essere numerico instabile più delle matrici.

1. Se si converte il quaternione di unità e si assume che sia un'unità (non ponderando i coefficienti in base alla grandezza quadratica) di quanto si possa ottenere un errore drammatico. E se converti da matrice rotta a quaternione e viceversa, puoi raggiungere una rotazione instabile molto rapidamente.

1. Moltiplicazione sequenziale di quaternioni, spostarli alla lunghezza non dell'unità. E come precedente può produrre una matrice spezzata.

Per evitare questo errore, è necessario normalizzare i quaternioni dopo ogni operazione producendo errori di arrotondamento. Oppure assumete i vostri quaternioni come non un'unità e convertiteli in matrice con ponderazione (circa 8flops aggiuntivi).

NOTA: molte operazioni vengono eseguite più velocemente che con l'unità, ad esempio la conversione da matrice.

Answer 5

Ho un'applicazione in cui ho una "macchina" che segue una spline. Calcolo la derivata della spline per definire un vettore in avanti, quindi computo i vettori left e up per creare una matrice di orientamento. Quindi lo decompongo in un quaternion.

Quando trasformo questi quaternioni in fotogrammi chiave nell'animazione, ci sono alcuni giri in cui i Q_z floppano da -1 a 1. Non ho ancora studiato come ottenere la libreria Python di Blender per darmi una scomposizione che sia stabile su piccola i cambiamenti.