Rotazioni 3D di un piano

Question

Sto facendo qualcosa in cui ho un piano in un coordinatore A con una serie di punti già presenti. Ho anche un vettore normale nello spazio N. Come posso ruotare i punti sulla coordinata A in modo che il piano sottostante abbia la stessa direzione normale di N?

Chiedersi se qualcuno ha una buona idea su come farlo. Grazie

Answer 1

Se si dispone, o si può calcolare facilmente, il vettore normale sul piano in cui si trovano attualmente i punti, penso che il modo più semplice per farlo sarà quello di ruotare attorno all'asse comune ai due piani. Ecco come mi piacerebbe andare a questo proposito:

1. Sia M essere il vettore normale al piano attuale, e N il vettore normale al piano da ruotare in. Se M == N puoi fermarti ora e lasciare invariati i punti originali.

2. calcolare l'angolo di rotazione

   costheta = dot(M,N)/(norm(M)*norm(N)) 
   

3. Calcolare l'asse di rotazione come

   axis = unitcross(M, N) 
   

   dove unitcross è una funzione che esegue il prodotto vettoriale e normalizza ad un vettore unitario, cioè unitcross(a, b) = cross(a, b)/norm(cross(a, b)). Come indicato da user1318499 in un commento, questo passaggio può causare un errore se M == N, a meno che l'implementazione di unitcross restituisca (0,0,0) quando a == b.

4. Calcolare la matrice di rotazione dall'asse e angolo come

   c = costheta 
   s = sqrt(1-c*c) 
   C = 1-c 
   rmat = matrix([ x*x*C+c x*y*C-z*s x*z*C+y*s ], 
          [ y*x*C+z*s y*y*C+c y*z*C-x*s ] 
          [ z*x*C-y*s z*y*C+x*s z*z*C+c ]) 
   

   dove x, y, e z sono componenti axis. Questa formula è descritta on Wikipedia.

5. Per ciascun punto, calcolare il punto corrispondente sulla nuovo piano come

   newpoint = dot(rmat, point) 
   

   dove la funzione dot esegue la moltiplicazione di matrici.

Questo non è univoco, ovviamente; come accennato nella risposta di peterk, ci sono un numero infinito di rotazioni possibili che potrebbero trasformare il piano normale in M nel piano normale a N. Ciò corrisponde al fatto che, dopo aver eseguito i passaggi sopra descritti, è possibile ruotare l'aereo attorno a N ei punti si troveranno in posizioni diverse pur rimanendo sullo stesso piano. (In altre parole, ogni rotazione che puoi fare per soddisfare le tue condizioni corrisponde a fare la procedura descritta sopra seguita da un'altra rotazione attorno allo N.) Ma se non ti interessa dove nell'aereo finiscono i tuoi punti, penso che questa rotazione intorno l'asse comune è il modo più semplice per ottenere solo i punti nel piano li volete a.

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Se non si dispone di M, ma avete le coordinate dei punti nel vostro piano di partenza relativa a un'origine in quel piano, è possibile calcolare il vettore normale iniziale dalle posizioni di due punti x1 e x2 come

M = cross(x1, x2) 

(è anche possibile utilizzare unitcross qui ma non fa alcuna differenza). Se si dispone di punti coordinate relative ad un'origine che non è nel piano, si può ancora farlo, ma avrete bisogno di tre punti posizioni:

M = cross(x3-x1, x3-x2) 

Answer 2

Sto pensando di creare un vettore di unità [0,0,1] e utilizzare il prodotto di punti lungo due piani per trovare l'angolo di differenza e spostare tutti i punti di tali angoli. Questo presuppone che tu voglia che l'asse z si allinei con il vettore normale, altrimenti usa solo [1,0,0] o [0,1,0] per x e y rispettivamente.

Answer 3

Un singolo vettore (normale - N) non sarà sufficiente. Avrai bisogno di altri due vettori per le altre due dimensioni. (Immagina che il tuo spazio 3D possa ancora ruotare/ruotare attorno al vettore normale, e hai bisogno di altri 2 vettori per inchiodarlo). Una volta che hai il normale e un altro sull'aereo, il terzo dovrebbe essere facile da trovare (destro o sinistro a seconda del tuo sistema).

Assicurarsi che tutti e tre siano normalizzati (lunghezza di 1) e metterli in una matrice; usa quella matrice per trasformare qualsiasi punto nel tuo spazio 3D (usa la moltiplicazione della matrice). Questo dovrebbe darti le nuove coordinate.