Scopri se la matrice è definita positiva con numpy

Question

Ho bisogno di scoprire se la matrice è positive definite. La mia matrice è una matrice numpy. Mi aspettavo di trovare qualsiasi metodo correlato nella libreria numpy, ma senza successo. Apprezzo qualsiasi aiuto.

Answer 1

si può anche verificare se tutti gli autovalori di matrici sono positivi, in tal caso la matrice è definita positiva:

import numpy as np 

def is_pos_def(x): 
    return np.all(np.linalg.eigvals(x) > 0) 

Answer 2

Si potrebbe provare a calcolare la scomposizione di Cholesky (numpy.linalg.cholesky). Questo aumenterà LinAlgError se la matrice non è definita positiva.

Answer 3

Non so il motivo per cui la soluzione di NPE è così sottovalutato. È il modo migliore per farlo. Ho trovato su Wkipedia che la complessità è cubica.

Inoltre, si dice che è più numericamente stabile della decomposizione Lu. E la decomposizione di Lu è più stabile del metodo di trovare tutti gli autovalori.

E, si tratta di una soluzione molto elegante, perché è un dato di fatto:

Una matrice ha una decomposizione di Cholesky se e solo se è simmetrica positiva.

Quindi perché non usare la matematica? Forse alcune persone hanno paura del rilancio dell'eccezione, ma è un dato di fatto, è abbastanza utile programmare con eccezioni.

Answer 4

Per una matrice reale $ A $, abbiamo $ x^TAx = \ frac {1} {2} (x^T (A + A^T) x) $ e $ A + A^T $ è una matrice reale simmetrica. Quindi $ A $ è definito positivo se $ A + A^T $ è positivo definito, se tutti gli autovalori di $ A + A^T $ sono positivi.

import numpy as np 

def is_pos_def(A): 
    M = np.matrix(A) 
    return np.all(np.linalg.eigvals(M+M.transpose()) > 0) 

Answer 5

Per illustrare la risposta @ NPE con un po 'di codice pronto per l'uso:

importazione NumPy come np

def is_pd(K): 
    try: 
     np.linalg.cholesky(K) 
     return 1 
    except np.linalg.linalg.LinAlgError as err: 
     if 'Matrix is not positive definite' in err.message: 
      return 0 
     else: 
    raise 

Answer 6

Sembra che ci sia una piccola confusione tutte le risposte di cui sopra (almeno riguardo alla domanda).

Per le matrici reali, i test per autovalori positivi e termini a conduzione positiva in np.linalg.cholesky si applicano solo se la matrice è simmetrica. Quindi, per prima cosa è necessario testare se la matrice è simmetrica e quindi applicare uno di questi metodi (autovalori positivi o scomposizione di Cholesky).

Ad esempio:

import numpy as np 

#A nonsymmetric matrix 
A = np.array([[9,7],[6,14]]) 

#check that all eigenvalues are positive: 
np.all(np.linalg.eigvals(A) > 0) 

#take a 'Cholesky' decomposition: 
chol_A = np.linalg.cholesky(A) 

La matrice A non è simmetrica, ma gli autovalori sono positivi e Numpy restituisce una decomposizione di Cholesky che è sbagliato. È possibile verificare che:

chol_A.dot(chol_A.T) 

è diverso da A.

Si può anche verificare che tutte le funzioni di cui sopra sarebbero pitone test positivo per 'positiva determinatezza'.Questo potrebbe potenzialmente essere un problema grave se si stava tentando di utilizzare la decomposizione di Cholesky per calcolare l'inverso, in quanto:

>np.linalg.inv(A) 
array([[ 0.16666667, -0.08333333], 
    [-0.07142857, 0.10714286]]) 

>np.linalg.inv(chol_A.T).dot(np.linalg.inv(chol_A)) 
array([[ 0.15555556, -0.06666667], 
    [-0.06666667, 0.1  ]]) 

sono diversi.

In sintesi, vorrei suggerire l'aggiunta di una linea ad una qualsiasi delle funzioni di cui sopra per verificare se la matrice è simmetrica, per esempio:

def is_pos_def(A): 
    if np.array_equal(A, A.T): 
     try: 
      np.linalg.cholesky(A) 
      return True 
     except LinAlgError: 
      return False 
    else: 
     return False 

Si consiglia di sostituire np.array_equal (A, AT) nella funzione sopra per np.allclose (A, AT) per evitare differenze dovute a errori in virgola mobile.