Come faccio a tracciare un campo di pendenza usando mathematica?

Question

Sto provando a tracciare i campi di pendenza di alcune equazioni differenziali usando Mathematica ma non riesco a capirlo. Dire che ho l'equazione

y' = y(t) 
    y(t) = C * E^t 

Come si può tracciare il campo di inclinazione?

ho trovato un esempio, ma modo di complesso per me capire http://demonstrations.wolfram.com/SlopeFields/

Answer 1

Il comando necessario (dalla versione 7) è VectorPlot. Ci sono buoni esempi nella documentazione.

Credo che il caso che ti interessa è un'equazione differenziale

y'[x] == f[x, y[x]] 

Nel caso hai dato nella tua domanda,

f[x_, y_] := y 

che integra al esponenziale

In[]:= sol = DSolve[y'[x] == f[x, y[x]], y, x] 
Out[]= {{y -> Function[{x}, E^x c]}} 

Possiamo tracciare il campo di pendenza (vedi.210) utilizzando

VectorPlot[{1, f[x, y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}] 

Questo possono essere rappresentate graficamente le soluzioni alla DE usando qualcosa come

Show[VectorPlot[{1, f[x, y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 8}, 
    VectorStyle -> Arrowheads[0.03]], 
Plot[Evaluate[Table[y[x] /. sol, {c, -10, 10, 1}]], {x, -2, 2}, 
    PlotRange -> All]] 

Forse un esempio più interessante è la gaussiana

In[]:= f[x_, y_] := -x y 

In[]:= sol = DSolve[y'[x] == f[x, y[x]], y, x] /. C[1] -> c 
Out[]= {{y -> Function[{x}, E^(-(x^2/2)) c]}} 

Show[VectorPlot[{1, f[x, y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 8}, 
    VectorStyle -> Arrowheads[0.026]], 
Plot[Evaluate[Table[y[x] /. sol, {c, -10, 10, 1}]], {x, -2, 2}, 
    PlotRange -> All]] 

---

Infine, v'è un concetto relativo del gradiente di campo, dove si guarda al gradiente (vettore derivato) di una funzione:

In[]:= f[x_, y_] := Sin[x y] 
     D[f[x, y], {{x, y}}] 
     VectorPlot[%, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}] 

Out[]= {y Cos[x y], x Cos[x y]} 

Answer 2

Sembrerebbe dalla dimostrazione si è collegato che ci vuole una funzione f (x, y), ma si dispone di una serie di differenziali. Tuttavia, sapendo che f(x,y)=y(x)', si potrebbe semplicemente usare f(x,y)=C*E^x dove x=t. I miei differenziali potrebbero essere un po 'arrugginiti, ma sono abbastanza sicuro che sia giusto.