Intersezione linea/piano in base ai punti

Question

Ho due punti nello spazio, L1 e L2 che definiscono due punti su una linea.

Ho tre punti nello spazio, P1, P2 e P3 che 3 punti su un piano.

Quindi dati questi ingressi, a che punto la linea interseca il piano?

Fx. l'equazione del piano A * x + B * y + C * z + D = 0 è:

A = p1.Y * (p2.Z - p3.Z) + p2.Y * (p3.Z - p1.Z) + p3.Y * (p1.Z - p2.Z) 
B = p1.Z * (p2.X - p3.X) + p2.Z * (p3.X - p1.X) + p3.Z * (p1.X - p2.X) 
C = p1.X * (p2.Y - p3.Y) + p2.X * (p3.Y - p1.Y) + p3.X * (p1.Y - p2.Y) 
D = -(p1.X * (p2.Y * p3.Z - p3.Y * p2.Z) + p2.X * (p3.Y * p1.Z - p1.Y * p3.Z) + p3.X * (p1.Y * p2.Z - p2.Y * p1.Z)) 

Ma per quanto riguarda il resto?

Answer 1

Il modo più semplice (e molto generalizzabile) per risolvere questo vuol dire che

L1 + x*(L2 - L1) = (P1 + y*(P2 - P1)) + (P1 + z*(P3 - P1)) 

che ti dà 3 equazioni in 3 variabili. Risolvi x, yez, quindi sostituisci l'equazione originale per ottenere la risposta. Questo può essere generalizzato per fare cose complesse come trovare il punto che è l'intersezione di due piani in 4 dimensioni.

Per un approccio alternativo, il prodotto incrociato N di (P2-P1) e (P3-P1) è un vettore che è perpendicolare al piano. Ciò significa che il piano può essere definito come l'insieme di punti P in modo tale che il prodotto punto di P e N sia il prodotto punto di P1 e N. Risolvendo per: 30: 292 è questa costante ti dà un'equazione in una variabile che è facile da risolvere. Se intendi intersecare molte linee con questo piano, questo approccio è sicuramente utile.

Scritto esplicitamente questo dà:

N = cross(P2-P1, P3 - P1) 
Answer = L1 + (dot(N, P1 - L1)/dot(N, L2 - L1)) * (L2 - L1) 

dove

cross([x, y, z], [u, v, w]) = x*u + y*w + z*u - x*w - y*u - z*v 
dot([x, y, z], [u, v, w]) = x*u + y*v + z*w 

Nota che quel trucco prodotto vettoriale solo opere in 3 dimensioni, e solo per il problema specifico di un aereo e di un linea.

Answer 2

Questo è il modo in cui ho finito per farlo nel codice venuto. Fortunatamente una libreria di codice (XNA) aveva metà di quello di cui avevo bisogno, e il resto era facile.

var lv = L2-L1; 
var ray = new Microsoft.Xna.Framework.Ray(L1,lv); 
var plane = new Microsoft.Xna.Framework.Plane(P1, P2, P3); 

var t = ray.Intersects(plane); //Distance along line from L1 
///Result: 
var x = L1.X + t * lv.X; 
var y = L1.Y + t * lv.Y; 
var z = L1.Z + t * lv.Z; 

Ovviamente preferirei avere solo le semplici equazioni che si svolgono sotto le copertine di XNA.