Come calcolare efficientemente le relazioni di ricorsione in matematica?

Question

Ho una ricorsione da risolvere per.

f(m,n)=Sum[f[m - 1, n - 1 - i] + f[m - 3, n - 5 - i], {i, 2, n - 2*m + 2}] + f[m - 1, n - 3] + f[m - 3, n - 7] 
f(0,n)=1, f(1,n)=n 

Tuttavia, il seguente codice MMA è molto inefficiente

f[m_, n_] := Module[{}, 
    If[m < 0, Return[0];]; 
    If[m == 0, Return[1];]; 
    If[m == 1, Return[n];]; 
    Return[Sum[f[m - 1, n - 1 - i] + f[m - 3, n - 5 - i], {i, 2, n - 2*m + 2}] + f[m - 1, n - 3] + f[m - 3, n - 7]];] 

Prende insopportabile tempo per calcolare f [40,20]. Qualcuno potrebbe suggerire un modo efficace per farlo? Grazie molto!

Answer 1

Il trucco standard consiste nel salvare i valori intermedi. Quanto segue richiede 0.000025 secondi

f[m_, n_] := 0 /; m < 0; 
f[0, n_] := 1; 
f[1, n_] := n; 
f[m_, n_] := (f[m, n] = 
    Sum[f[m - 1, n - 1 - i] + f[m - 3, n - 5 - i], {i, 2, 
     n - 2*m + 2}] + f[m - 1, n - 3] + f[m - 3, n - 7]); 
AbsoluteTiming[f[40, 20]]