ottimizzazione vincolata in R

Question

Sto cercando di utilizzare http://rss.acs.unt.edu/Rdoc/library/stats/html/constrOptim.html in R per eseguire l'ottimizzazione in R con alcuni vincoli lineari determinati ma non in grado di capire come impostare il problema.

Ad esempio, ho bisogno di massimizzare $ f (x, y) = log (x) + \ frac {x^2} {y^2} $ soggetto a vincoli $ g_1 (x, y) = x + y < 1 $, $ g_2 (x, y) = x> 0 $ e $ g_3 (x, y) = y> 0 $. Come posso farlo in R? Questo è solo un esempio ipotetico. Non preoccuparti della sua struttura, invece sono interessato a sapere come impostarlo in R.

grazie!

Answer 1

Impostazione della funzione era banale:

fr <- function(x) {  x1 <- x[1] 
    x2 <- x[2] 
    -(log(x1) + x1^2/x2^2) # need negative since constrOptim is a minimization routine 
} 

Impostazione della matrice dei vincoli è stato problematico a causa della mancanza di molta documentazione, e ho fatto ricorso alla sperimentazione. La pagina di aiuto dice "La regione ammissibile è definita da ui% *% theta - ci> = 0". Così ho provato e questo sembrava "lavoro":

> rbind(c(-1,-1),c(1,0), c(0,1)) %*% c(0.99,0.001) -c(-1,0, 0) 
     [,1] 
[1,] 0.009 
[2,] 0.990 
[3,] 0.001 

così ho messo in una riga per ogni vincolo/confine:

constrOptim(c(0.99,0.001), fr, NULL, ui=rbind(c(-1,-1), # the -x-y > -1 
               c(1,0), # the x > 0 
               c(0,1)), # the y > 0 
              ci=c(-1,0, 0)) # the thresholds 

Per questo problema v'è un potenziale difficoltà che per tutti i valori di x la funzione passa a Inf come y -> 0. Riesco a ottenere un massimo intorno a x = .95 e y = 0 anche quando spingo i valori iniziali verso "l'angolo", ma sono piuttosto sospettoso che questo sia non il vero massimo che avrei immaginato fosse nell'angolo. EDIT: Praticando questo Ho pensato che il gradiente potrebbe fornire "direzione" ulteriore e ha aggiunto una funzione gradiente:

grr <- function(x) { ## Gradient of 'fr' 
    x1 <- x[1] 
    x2 <- x[2] 
    c(-(1/x[1] + 2 * x[1]/x[2]^2), 
     2 * x[1]^2 /x[2]^3) 
} 

Questo ha "guidare" l'ottimizzazione un po 'più vicino al c (0,999 ..., 0) angolo, invece di allontanarsi da esso, come ha fatto per alcuni valori iniziali. Rimango un po 'deluso dal fatto che il processo sembra "dirigersi verso la scogliera" quando i valori di partenza sono vicino al centro della regione ammissibile:

constrOptim(c(0.99,0.001), fr, grr, ui=rbind(c(-1,-1), # the -x-y > -1 
               c(1,0), # the x > 0 
               c(0,1)), # the y > 0 
              ci=c(-1,0, 0)) 
$par 
[1] 9.900007e-01 -3.542673e-16 

$value 
[1] -7.80924e+30 

$counts 
function gradient 
    2001  37 

$convergence 
[1] 11 

$message 
[1] "Objective function increased at outer iteration 2" 

$outer.iterations 
[1] 2 

$barrier.value 
[1] NaN 

Nota: Hans Werner Borchers ha postato un esempio migliore su R-Help che è riuscito a ottenere i valori dell'angolo impostando il vincolo leggermente lontano dal bordo:

> constrOptim(c(0.25,0.25), fr, NULL, 
       ui=rbind(c(-1,-1), c(1,0), c(0,1)), 
       ci=c(-1, 0.0001, 0.0001)) 
$par 
[1] 0.9999 0.0001