Come si può calcolare la resistenza di attrito per un disco in movimento e rotante su una superficie 2D?

Question

Consideriamo un disco con massa m e raggio R su una superficie in cui è coinvolto anche l'attrito. Quando diamo a questo disco una velocità iniziale v in una direzione, il disco andrà verso quella direzione e rallenterà e si fermerà.

Nel caso in cui il disco abbia una rotazione (o giri con la linea di rotazione perpendicolare sulla superficie) w accanto alla velocità, il disco non si muoverà su una linea, ma piegherà. Sia la velocità lineare che quella angolare sarebbero 0 alla fine.

Come è possibile calcolare questo raggruppamento/curvatura/trascinamento? È possibile dare una soluzione analitica per la funzione X (v, w, t), dove X darebbe la posizione del disco in base alla sua v iniziale a una data t?

Qualsiasi suggerimento di simulazione andrebbe bene. Immagino che, a seconda di w e me vi sarebbe una velocità addizionale che è perpendicolare alla velocità lineare e quindi il percorso del disco si piegherebbe dal percorso lineare.

Answer 1

Se si sta per simulare questo, probabilmente raccomanderei qualcosa come dividere la superficie di contatto tra il disco e il tavolo in una griglia radiale. Calcola la velocità relativa e la forza in ogni punto della griglia in ogni fase temporale, quindi somma le forze e le coppie (r croce F) per ottenere la forza netta F e la coppia netta T sul disco nel suo complesso. Quindi è possibile applicare le equazioni F = (m) (dv/dt) e T = (I) (dw/dt) per determinare le variazioni differenziali in vew per il passo successivo.

Per quello che vale, non penso che un disco piatto si curva sotto l'influenza di una forza di attrito (indipendente dalla velocità) o di una forza di resistenza (linearmente proporzionale alla velocità).

Answer 2

L'integrazione numerica delle leggi del moto di Newton sarebbe ciò che raccomanderei. Disegna il diagramma del corpo libero del disco, fornisci le condizioni iniziali del sistema e integra numericamente le equazioni per l'accelerazione e la velocità in avanti nel tempo. Hai tre gradi di libertà: x, y traduzione nel piano e la rotazione perpendicolare al piano. Quindi avrai a disposizione sei ODE simultanee: velocità di variazione delle velocità lineari e angolari, velocità di variazione per due posizioni e velocità di variazione della rotazione angolare.

Attenzione: l'attrito e il contatto rendono non lineare la condizione al contorno tra il disco e la tabella. Non è un problema banale.

Potrebbero esserci alcune semplificazioni trattando il disco come una massa puntiforme. Consiglierei di guardare Kane's Dynamics per una buona comprensione della fisica e su come formulare al meglio il problema.

Mi chiedo se la flessione del percorso che stai immaginando si verifichi con un disco perfettamente bilanciato. Non ho lavorato, quindi non sono sicuro. Ma se prendi un disco perfettamente bilanciato e lo fai ruotare attorno al suo centro, non ci sarà alcuna traduzione senza uno squilibrio, perché non c'è forza netta che lo faccia tradurre. Aggiungere una velocità iniziale in una data direzione non cambierebbe quella.

Ma è facile vedere una forza che potrebbe far deviare il disco dal percorso rettilineo se si verifica uno squilibrio nel disco. Se sono corretto, dovrai aggiungere uno squilibrio al disco per vedere il piegamento da una linea retta. Forse qualcuno che è un fisico migliore di me potrebbe pesare.

Answer 3

Una palla si muoverà in un arco di grandi dimensioni con uno spin, ma un disco [uniforme] su una superficie 2D no.

Per il disco il centro di rotazione è lo stesso del baricentro, quindi non viene applicata alcuna coppia. (Come menzionato da duffymo, un disco non uniforme avrà una coppia applicata).

Per una palla uniforme, se l'asse dello spin non è perpendicolare al tavolo, questo fa sì che la palla subisca una coppia rotazionale che lo causa muoversi in un leggero arco. L'arco ha un grande raggio e la coppia è leggera, quindi solitamente l'attrito fa fermare la palla velocemente.

Se c'era una velocità laterale, la palla si muoveva lungo una parabola, come un oggetto che cade. Il componente di coppia (e il raggio dell'arco) può essere calcolato nello stesso modo in cui lo si fa per una cima precessore. È solo che la palla si trova sulla punta della cima (err ....) e la parte inferiore è "immaginaria".

equazione Top: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/top.html

omega_p = mgr/I/omega

dove

omega_p = rotational velocity...dependent on how quickly you want friction to slow the ball 
m = ball mass 
g = 9.8 m/s^2 (constant) 
r = distance from c.g. (center of ball) to center, depends on angle of spin axis (solve for this) 
omega = spin rate of ball 
I = rotational inertia of a sphere 

I miei 2 centesimi.

Answer 4

Quando parli di attrito, non sono sicuro di cosa intendi. Di solito c'è un coefficiente di attrito C, tale che l'attrito F di un oggetto scorrevole = C * forza di contatto.

Il disco è modellato come un singolo oggetto costituito da un numero di punti disposti in cerchi attorno al centro.
Per semplicità, è possibile modellare il disco come un esagono pieno di punti, per assicurarsi che ogni punto rappresenti un'area uguale.

Il peso w di ciascun punto corrisponde al peso della parte del disco che rappresenta.
Il vettore di velocità è facilmente calcolato dalla velocità e dalla velocità di rotazione del disco.
La forza di trascinamento in quel punto è meno il suo peso moltiplicato per il coefficiente di attrito, moltiplicato per un vettore unitario nella direzione della sua velocità.

Se la velocità di un punto diventa zero, anche il vettore di trascinamento è zero.
Probabilmente sarà necessario utilizzare una tolleranza pari a zero, altrimenti potrebbe continuare a tremare.

Per ottenere la forza di decelerazione totale sul disco, sommare i vettori di trascinamento.

Per ottenere il momento di decelerazione angolare, convertire ciascun vettore di trascinamento in un momento angolare attorno al centro del disco e sommarli.

Fattore nella massa del disco e inerzia angolare, quindi dovrebbe dare acclami lineari e angolari.

Per integrare le equazioni del movimento, assicurati che il tuo solutore possa gestire le transizioni brusche, come quando il disco si ferma.
Un semplice risolutore di Eulero con una scalatura veramente fine potrebbe essere sufficiente.