Lavorare con funzioni reali in matematica

Question

In generale, Mathematica assume sempre il caso più generale, cioè, se ho impostato una funzione

a[s_]:={a1[s],a2[s],a3[s]} 

e voglio calcolare la sua norma Norm[a[s]], per esempio, verrà restituito:

Sqrt[Abs[a1[s]]^2 + Abs[a2[s]]^2 + Abs[a3[s]]^2] 

Tuttavia, se so che tutto ai[s] sono reali, posso richiamare:

Assuming[{a1[s], a2[s], a3[s]} \[Element] Reals, Simplify[Norm[a[s]]]] 

che restituirà:

Sqrt[a1[s]^2 + a2[s]^2 + a3[s]^2] 

Quale è quello che mi aspetto.

problema si verifica quando si tenta di, per esempio, derivano a[s] e poi (nota la D):

Assuming[{a1[s], a2[s], a3[s]} \[Element] Reals, Simplify[Norm[D[a[s],s]]]] 

ritorni nuovamente conseguenza coinvolge valori assoluti - provengono dal presupposto che i numeri possono essere immaginari.

Qual è il modo per superare questo problema? Voglio definire una funzione a valori reali e lavorarci come tale. Ad esempio, voglio che i suoi derivati ​​siano reali.

Answer 1

Vorrei utilizzare invece una funzione personalizzata, ad es.

vecNorm[vec_?VectorQ] := Sqrt[ vec.vec ] 

Poi

In[20]:= vecNorm[D[{a1[s], a2[s], a3[s]}, s]] 

Out[20]= Sqrt[ 
Derivative[1][a1][s]^2 + Derivative[1][a2][s]^2 + 
Derivative[1][a3][s]^2] 

Answer 2

Attenzione: non ho molta esperienza pratica con questo, quindi gli esempi qui sotto non sono accuratamente testati (vale a dire non so se le ipotesi troppo generali possono rompere qualcosa che non ho pensato).

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È possibile utilizzare $Assumptions per definire ipotesi permanenti:

Potremmo dire che tutti a1[s], a2[s], a3[s] sono reali:

$Assumptions = {(a1[s] | a2[s] | a3[s]) \[Element] Reals} 

Ma se avete ad esempio a1[x] (non a1[s]), quindi non funzionerà. Così possiamo migliorarlo un po 'utilizzando modelli:

$Assumptions = {(a1[_] | a2[_] | a3[_]) \[Element] Reals} 

o anche solo dire che tutti i valori di a[_] sono reali:

$Assumptions = {a[_] \[Element] Reals} 

O anche essere coraggioso e dire che tutto è reale:

$Assumptions = {_ \[Element] Reals} 

(mi chiedo che cosa si rompe)

AppendTo è utile per aggiungendo a $Assumptions e mantenendo le ipotesi precedenti.

Proprio come Assuming, questo funziona solo per funzioni come Simplify o Integrate con opzione Assumtpions. D non è una funzione del genere.

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Alcune funzioni come Reduce, FindInstance, ecc hanno la possibilità di lavorare solo sul dominio del Real, interi, ecc, che presuppone che tutte le espressioni e sottoespressioni con cui lavorano sono reali.

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ComplexExpand[] e talvolta FunctionExpand[] può anche essere utile in situazioni simili (ma non proprio qui). Esempi: ComplexExpand[Abs[z]^2, TargetFunctions -> {Sign}] e FunctionExpand[Abs'[x], Assumptions -> {x \[Element] Reals}].

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Generalmente, per quanto ne so, non c'è matematico modo per dire Mathematica che una variabile è reale. È possibile farlo in modo formale, utilizzando modelli e solo per determinate funzioni che dispongono dell'opzione Assumptions. Con "formale" intendo che se si dice che a[x] è reale, non si saprà automaticamente che anche a'[x] è reale.

Answer 3

In questo caso è possibile utilizzare ComplexExpand anche se con una soluzione alternativa. Ad esempio

ComplexExpand[Norm[a'[s], t]] /. t -> 2 

rendimenti

Sqrt[Derivative[1][a1][s]^2 + Derivative[1][a2][s]^2 + Derivative[1][a3][s]^2] 

Nota che facendo qualcosa di simile ComplexExpand[Norm[a'[s], 2]] (o effettivamente ComplexExpand[Norm[a'[s], p]] dove p è un numero razionale) non funziona per qualche motivo.

Answer 4

Per le versioni più vecchie di Mathematica Ci deve essere utilizzato un pacchetto add-on RealOnly che ha messo Mathematica in una modalità reali solo. Esiste una versione disponibile nelle versioni successive e online con aggiornamenti minimi di compatibilità. Riduce molte situazioni ad un reale unica soluzione, ma non funziona per il vostro Norm caso: