Orientamento tetraedro per mesh triangolari

Question

Ho 2 triangoli e vertici p0, p1, p2, p3. Questi due triangoli condividono un vantaggio. Da questi due triangoli voglio fare un tetraedro dato dai 4 vertici. La libreria con cui lavoro richiede che "i 4 vertici debbano essere dati in modo tale che i quattro vertici dei vertici che definiscono le facce del tetraedro nel disegno appaiano in senso antiorario quando vengono visualizzati dall'esterno" . Supponendo che uno dei due triangoli sia p0, p1, p2, io calcolo il normale come (p1-p0) (croce) (p2-p0). Qualcuno può dirmi un modo per assicurarmi che questa condizione sia soddisfatta?

Answer 1

Risposta breve:

La condizione è che p3 deve essere sul lato corretto del piano determinato da (p0, p1, p2).

Così, dopo il calcolo del normale per questo piano, è necessario determinare se il vettore da (diciamo) p0 a p3 sia rivolta nella stessa direzione del normale, o nella direzione opposta, prendendo il prodotto scalare dot(normal, p3-p0).

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Ulteriori matematicamente parlando:

è necessario trovare il determinante della matrice 4x4 formata dalle coordinate omogenee dei quattro punti. Il segno del determinante determina se la condizione è soddisfatta; il segno appropriata dipende dalle precise convenzioni utilizzate, ma idealmente dovrebbe essere positiva:

require: 
    0 < det(p0, p1, p2, p3) 

    == det [ p0.x p0.y p0.z 1 ] 
     [ p1.x p1.y p1.z 1 ] 
     [ p2.x p2.y p2.z 1 ] 
     [ p3.x p3.y p3.z 1 ] 

Se un particolare insieme ordinato di punti ha un determinante negativo, è possibile risolvere il problema scambiando due qualsiasi dei punti (che sarà negare il determinante):

e.g., swapping p0 and p2: 

det(p0, p1, p2, p3) = - det(p2, p1, p0, p3) 
    ^ ^   ^ ^

o, più in generale, il passaggio tra even and odd permutations dei quattro vertici.

Se il determinante è zero, i quattro punti sono complanari e non possono essere corretti in questo modo.

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Infine, il codice:

Un modo relativamente semplice per calcolare questo determinante con 3-d matematica vettoriale:

let: v1 = p1 - p0 
     v2 = p2 - p0 
     v3 = p3 - p0 
     norm12 = cross(v1, v2) 
    -> determinant = dot(norm12, v3) 

Il determinante finale è anche conosciuto come "prodotto misto" di v1, v2 e v3.

Nota che ho esitato a provare a decodificare la convenzione del segno esatto (vale a dire, se hai bisogno che il determinante sia positivo o negativo) dalla tua domanda: il testo e il diagramma che fornisci è più che un po 'confuso.

Dato che si dispone della libreria originale e della relativa documentazione, tuttavia, si è nella posizione migliore per rispondere a questa domanda. Come ultima risorsa, puoi provare il metodo empirico: prova entrambi i segnali e scegli quello che non esplode ...