Come posso convertire le coordinate su un quadrato in coordinate su un cerchio?

Question

Sto sviluppando un videogioco indie, e ho operato partendo dal presupposto che, poiché la levetta sul mio controller ha un raggio di movimento circolare, restituisce le coordinate "circolari"; cioè, coordinate cartesiane vincolate a un'area circolare (di raggio 1). Infatti, le coordinate sono "quadrate"; ad esempio, la posizione del pollice in alto a destra registra come x = 1, y = 1. Quando converto le coordinate da cartesiano a polare, la magnitudine può superare 1 - il che ha l'effetto che il giocatore può muoversi più rapidamente in diagonale di quanto possa verticalmente o orizzontalmente.

Quindi, per chiarire, voglio registrare la posizione di una levetta analogica in termini di direzione e magnitudine, dove la magnitudine è compresa tra 0 e 1. La levetta restituisce le coordinate su un piano quadrato, quindi è sufficiente convertire le coordinate da cartesiano a polare non è sufficiente. Penso di aver bisogno di convertire le coordinate nello spazio, ma ciò sta premendo i limiti del mio cervello scimmia.

Answer 1

Vedere Mapping a Square to a Circle. C'è anche una bella visualizzazione per la mappatura. Si ottiene:

xCircle = xSquare * sqrt(1 - 0.5*ySquare^2) 
yCircle = ySquare * sqrt(1 - 0.5*xSquare^2) 

Answer 2

Dividere ciascun valore per la grandezza per normalizzare tutti i valori su un vettore unitario, ad es.

magn = sqrt(x * x + y * y); 
newx = magn > 1.0 ? x/magn : x; 
newy = magn > 1.0 ? y/magn : y; 

Tuttavia, questo può avere l'effetto di clipping grandezza invece di normalizzare i valori interni .. Cioè, si otterrà lo stesso valore per un controller spinto "pienamente" in alto a sinistra e un controller quasi premuto completamente nella stessa direzione.

Answer 3

La mappatura non è univoca. Ci sono molte altre soluzioni a questa domanda.

Ad esempio, questa mappatura funziona anche

u = x √ (x² + y² - x²y²)/√ (x² + y²)

v = y √ (x² + y² - x²y²)/√ (x² + y²)

dove (u, v) sono coordinate disco circolare e (x, y) sono coordinate quadrati.

Un'immagine vale più di mille parole, quindi ecco alcune immagini per illustrare la non unicità della mappatura e la sua inversa.

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For a C++ implementation di quest'altro mappatura, vai a
http://squircular.blogspot.com/2015/09/fg-squircle-mapping.html
Vedere http://squircular.blogspot.com per più immagini di risultati della mappatura.

Vedere anche "Analytical Methods for Squaring the Disc" per un documento che illustra le diverse equazioni di mappatura con prove e derivazioni.