Quale semplice funzione matematica f (x) ha queste proprietà?

Question

Ho un piccolo problema di matematica. Vorrei avere una funzione con queste proprietà:

1. per x molto più grandi di 0: lim f (x) = x
2. per x molto più piccoli di 0: lim f (x) = 0
3. ed f (0) = 1 (scusate, ho avuto qui f (1) = 1, che era sbagliato!)
4. f (x) dovrebbe essere monotonically increasing

Quindi la funzione dovrebbe guardare un po 'come questo:

 ^
     | /
     |/
     |/
    ___.-+´ 
--´-----+------> 
     | 

Il meglio che ho ottenuto finora è x/(1 + e^(-x)) ma poi ho riconosciuto che scende sotto 0 e non aumenta monotonicamente.

Un grande aiuto per giocare con queste funzioni è GraphFunc Online.

Inoltre, sarebbe utile se la funzione è veloce da calcolare in quanto ho bisogno di eseguirlo molto spesso.

EDIT: lo sto utilizzando in un programma per limitare i valori. Ho un algoritmo di ottimizzazione, che utilizza l'adattamento della curva con un algoritmo Levenberg-Marquardt. Ma questo algoritmo non consente vincoli e ottimizza l'intera gamma di valori reali. Quindi ho bisogno di una funzione come questa in modo da poter aggiungere un vincolo artificiale in modo che la funzione sia più grande di 0. Un approccio semplice sarebbe usare f(x) = x² ma la funzione non è monotonicamente crescente e ha due minimas.

Il Levenberg-Marquardt si avvicina alle derivate, quindi penso che sarebbe meglio quando anche la funzione è liscia. Ma non sono sicuro che sia assolutamente necessario.

Answer 1

Fatta eccezione per un discontinuo a 0, x/(1 - e^(-x)) funziona. Quindi definisci f (0) come 1 e sei pronto.

#define E 2.71828183 
double SimpleFunc(double x) 
{ 
    if (x == 0) 
     return 1; 
    return x/(1 - pow(E, (-x))); 
} 

Probabile veloce:

double SimpleFunc2(double x) 
{ 
    if (x < 0) 
    return 1/(1 - x); 
    return x+1; 
} 

Entrambi sono in continuo la derivata prima, ma la seconda ha un salto a 1 nella seconda derivata)

Se davvero non si vuole per eseguire la funzione a tratti, provate questo: (x^2+.1)^.5/((1 - e^(-x))^2+.1)^.5

Answer 2

f (x) = abs (x/2) + x/2

dove abs (x) è il valore assoluto di x

Questa semplice funzione sarebbe ovviamente veloce da calcolare e soddisfa tutti e quattro i criteri.

Answer 3

Non so esattamente per cosa lo stai usando; cosa c'è di sbagliato in una funzione a tratti? Se avete intenzione di essere l'esecuzione di un sacco, qualcosa di simile sta per essere più veloce di esponenti che fanno:

f(x) = -1/x, x < -1 
f(x) = 1, -1 <= x <= 1 
f(x) = x, x > 1 

EDIT: Fisso esso in modo che funziona realmente.

Answer 4

Solo per darti idee, questa è una soluzione senza il vincolo f (1) = 1 e non aumenta monotonicamente.

Fondamentalmente si desidera fondere tra due funzioni: f1 (x) = 0 per x < 0 e f2 (x) = x per x> 0. Si desidera fondere in modo uniforme. Una semplice funzione di passo con un limite costante a -inf e + inf è atan (i limiti sono -pi/2 e + pi/2 rispettivamente).

Così combinando una funzione Atan si fondono con F1 e F2, si ottiene:

miscela (x) = atan (x)/pi + 0,5 f (x) = (1 - blend (x)) * f1 (x) + miscela (x) * f2 (x)

che dà:

f (x) = (atan (x)/pi + 0.5) * x

probabilmente ci sono altri funzioni di fusione che è possibile utilizzare al posto di atan. Si noti inoltre che con piccoli valori negativi, f (x) sarà negativo.

Se si desidera attraversare la curva (1,1), è possibile utilizzare il fatto che atan (0) = 0.

Answer 5

1/2 * (x + ABS (x))

E 'monotona.

f (1) = 1.

Quando x è minore di zero, f (x) = 0, altrimenti è uguale a x.

Answer 6

Ecco un smooth function che soddisfa le vostre esigenze:

f(x) = (x + sqrt(x^2 + 4))/2 

Per x = 0, si può vedere che f (x) = 1. Per molto grandi x positivi, sqrt(x^2 + 4) è di circa x, quindi f (x) ≈ x. Per grandi x negative, sqrt(x^2 + 4) è approssimativamente -x, quindi f (x) ≈ 0.

La derivata prima è

f'(x) = 1/2 + 1/2*x/sqrt(x^2 + 4) 

per x> 0, x/sqrt(x^2 + 4) > 0, quindi f '(x)> 0 . per x < 0,

0 < x^2/(x^2 + 4) < 1 
0 < |x|/sqrt(x^2 + 4) < 1 
-1 < x/sqrt(x^2 + 4) < 0 
-1/2 < 1/2*x/sqrt(x^2 + 4) < 0 
1/2 + 1/2*x/sqrt(x^2 + 4) > 0 

quindi, f '(x)> 0 per ogni x, quindi f (x) è monotona crescente come desiderato.