Come sono programmati i logaritmi?

Question

Sono appena riusciti a utilizzare un approccio a forza bruta o c'è un algoritmo nel farlo?

Answer 1

L'implementazione di una funzione come il logaritmo naturale in qualsiasi libreria matematica decente manterrà l'errore sotto un ulp (unità di minima precisione). L'obiettivo dell'implementatore di una funzione di libreria matematica è trovare un'approssimazione ottimale, quella che raggiunge l'accuratezza desiderata con il minor numero possibile di calcoli. Le serie di Taylor sono in genere una scelta sbagliata perché sono necessari troppi termini per ottenere la precisione desiderata.

Le armi tipiche di scelta sono ridurre l'intervallo da tutti i numeri reali rappresentabili a una regione molto piccola, quindi utilizzare un'approssimazione ottimale che fornisca un'accurata approssimazione della funzione desiderata su questo intervallo ristretto. Le armi tipiche di scelta per questa approssimazione ottimale sono un polinomio o un polinomio razionale (rapporto di due polinomi). L'implementazione contiene solo i coefficienti polinomiali. Questi coefficienti sono costruiti con una tecnica di ottimizzazione come l'algoritmo di Remes Exchange.

Nel caso del logaritmo naturale, esiste un modo semplice per ridurre l'intervallo. I numeri reali sono quasi universalmente rappresentate in termini di una mantissa e dell'esponente: x = m * 2 ^p, dove p é un intero ed m è compreso tra 1 e 2. Così log (x ) = log ( m) + p * log (2). Quest'ultimo termine, p * log (2), è solo una moltiplicazione per una costante conosciuta. Il problema si riduce quindi alla ricerca del logaritmo di un numero compreso tra 1 e 2 (o tra 1/2 e 1). Un'ulteriore riduzione del raggio può essere fatta usando il fatto che √2 è logaritmicamente nel mezzo di [1,2). Quindi tutto ciò che serve è un modo per calcolare il logaritmo di un numero compreso tra 1 e √2. Questo è tipicamente fatto con un polinomio razionale. Il rapporto tra un polinomio di secondo ordine e un terzo ordine funziona abbastanza bene per questo.

Answer 2

Esistono diversi modi per calcolare i logaritmi. Vedi this.